Условие (36 ₁ ) или тождественное с ним условие (37₁)всегда выполнено, из условий же (36₂) и (37₂) вытекает следующее. Прежде всего из (36₂) следует, что только если

или иначе, если 

то состояние покоя колебательной системы будет неустойчиво. Таким образом неравенство (36) является условием возникновения колебаний при периодической изменении параметра. Если оно выполнено, то а и b не могут быть оба равны нулю, и тогда воаможные значения стационарной амплитуды получаются из ур-ния (34), т. е. даны равенством:

При выполнении условия возникновения колебаний (36) корень действителен, и мы имеем два возможных значения для Х². Условие устойчивости (37₂) дает нам ответ ва вопрос о выборе знака корня. 
В caмoм деле, принимая во внимание ур-ния (32₁,) и (32₂), можно это последнее условие записать в виде:

откуда видно, что знак корня в выражении (34₁) одинаков со знаком .
При <0 мы следовательно имеем

Тогда как при  > 0 имеем 

Таким образом при соблюдении условия (З6) и при подстройка системы так, чтобы

и 

мы можем периодическим изменением самоиндукции с частотой  возбудить в системе, настроенной приблизительно на частоту , колебания частоты , стационарная амплитуда которых будет дана выражением (40₁) или (40₂). 
Как видно из (41₁) и (41₂) теория в первом приближениии ограничивает расстройку  только с одной стороны, т. е. возможны устойчивые значения амплитуды и за пределами интервала значений , определяемого условней возникновения колебании. Иными словами, параметрически возбужденные колебания "затягиваются". Как далеко простирается эта наблюдаемая и на опыте „область затягивания", из полученных приближенных выражений для амплитуды не вытекает. Для того, чтобы получить ответ на этот и другие относящиеся сюда вопросы, нельзя ограничиться рассмотренным нами „нулевым" приближением., а необходимо учесть влияние членов, содержащих на амплитуду основной гармоники, а также и роль обертонов. Следует заметить, что к аналогичным результатам приводит нулевое решение и для случая, когда зависимость между потоком и током в ограничивающей дросселе выражена аркустангенcоидой (¹⁹), который разобран в статье В. П. Гуляева и В. В. Мнгулина. 
Рассмотрим ближе характер зависимости амплитуды параметрически возбужденных колебаний от определяющих ее величин. На рис. 3 и 4 представлены кривые зависимости X² от расстройки , которые можно назвать кривыми гетеропараметрического резонанса. Легко видеть, что эти кривые существенным образом отличаются, как от обычных резонансных кривых, так и от кривых, резонанса 2-го рода. Как видно из рис. 3, пока 

никаких заметных колебаний в системе нет. 
При : 

параметрические колебания возникают, начинаясь с очень маленьких амплитуд и при дальнейшем увеличении  увеличиваются. X² растет при этом прямолинейно до тех пор, пока при некотором значении 

колебания резко обрываются. Прн обратном ходе расстройки колебания возникают уже при  и затем при дальнейшем уменьшении уменьшаются до тех пор, пока при  X ² снова не сделается равным нулю. 
Таким образом, только с одной стороны существует "петля затягивания" (рис.3)

Как видно из рис. 4 , при  мы имеем обратную картину: 
X ² растет с уменьшением  и петля затянивания имеется при = ₁. Максимальная величина Х² внутри области возникновения колебаний равна : 

т.е. тем больше, чем меньше  
Вполне аналогичные результаты получаются и в случае гармонического изменения емкости. В самом деле, в этом случае:

Сравнивая члены, содержащие с соответствующими членами выражения (31), мы видим, что они получаются из последнего заменой m через  Таким образом все выводы, полученные при рассмотрении задачи с периодически изменяющейся самоиндукцией, можно непосредственно распространить и на случай изменения емкости. 

¹Как показывают опыты (см. статью В.А. Лазарева ) оба эти случая могут быть реализованы. 

В частности, в случае емкости, границы области параметрического возбуждения выразятся через: 

Откуда : 

Что с точностью до  тождественно с (38) 
Мы до сих пор рассматривали явления возбуждения колебаний при помощи периодического изменения параметров колебательной системы без регенерации. При параметрическом воздействии на регенеративную систему мы встречаемся с целым рядом заслуживающих внимания особенностей, и поэтому мы рассмотрим этот случай несколько подробнее в следующем параграфе. 

§ 1. Изменение параметров в регенеративной системе 
Так как в этом случае после подстановки (24) в (20₂) получаем

то уравнения (27₁) и (27₂) для a и b принимают здесь следующий вид: 

откуда имеем либо : 

либо 

или 

Для выяснения физических условий, необходимых для наличия того или иного из этих решений, обратимся к условиям устойчивости. Так как в данном случае:

то условия (28) и (29) принимают следующий вид: Для случая 

Для случая 

Здесь R означает  И» втих соотношений можно сделать следующие выводы. Прежде всего из (49₁) и (49₂) следует, что когда , т. е. когда система не самовозбуждена (сравни ф-лу (30)), параметрическое возбуждение возможно лишь при

Сравнивая эту формулу с ф-лои (36) для нерегенерированной системы, мы видим, что вместо  мы здесь имеем меньшую величину. Таким образом можно, применяя регенерацию возбудить параметричеcкие колебания_в системе и тогда, когда данная глубина модуляции параметра m недостаточна для выполнения условия (36). Этот вывод лег в основу некоторых из описываемых ниже опытов.
Если выполнено условие (61), то состояние системы при a = 0, b = 0 неустойчиво. В случае установившегося периодического движения оно передается ф-лой (47). Из условий (50₁) и (50₂) следует, что выражаемое ими состояние устойчиво, лишь если одновременно  и R меньше 0. Таким образом мы приходим к заключению; что амплитуда стационарных периодических колебаний выражается формулой: 

Эта формула верна как для к меньше 0, (нееамовозбужденная систеиа), так и для k>0 (самовозбужденнаа система). Рассмотрим сначала первый случай. Прежде всего заметим, что условие реальности X совпадает с условней возбуждения параметрических колебаний (51). Отсюда следует, что как и при автопараметрическом возбуждении, и здесь при „мягком" режиме возбуждения явление „затягивания" отсутствует. Если мы сравним далее ф-лу (47₂) с соответствующей формулой для амплитуды колебаний при автопараметрическом возбуждении: (18)

то увидим, что обе формулы вполне аналогичны и при малых  практически совпадают. Таким образом кривые гетеропараметрического резонанса, в рассматриваемой случае вполне подобны рассмотренным нами раньше (¹⁷) и (¹⁸) кривым автопараметрического резонанса (резонанса 2-го рода), причем внешнюю силу здесь заменяет 
вычисленная по ф-ле (47₂) кривая гетеропараметряческого резонанса. Как видно из нее, кривая резонанса при ограничении амплитуды нелинейным сопротивлением существенно отличается от кривой гетеропараметрического резонанса при ограничении амплитуды с помощью нелинейной самоиндукции (сравни рис. 3 и 4). 
В случае изменения параметра в самовозбужденнои системе (к > О) мы приходим к следующий заключениям. Прежде всего из самого факта существования устойчивого периодического решения (47,) следует, что и при гетеропараметрическом воздействии на автоколебательную систему имеет место явление принудительной синхронизации ("увлечение частоты"). Далее, так как реальность X обусловлена при к > 0 только реальностью корня, то мы имеем для "области увлечения" следующее соотношение: 

откуда вытекает, что эта область больше области возбуждения в несамовозбужденной системе (51). 

Заметим, что по обеим сторонам области увлечения где уже нет периодического процесса, автоколебания сильно ослабляются и при достаточно большой амплитуде воздействия полностью „тушатся". Приближенная теория этого явления, аналогичного явлению асинхронного тушения, будет дана в другом месте. 

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ 
Для проверки возможности возбуждения электрических колебаний в колебательной системе одним периодическим изменением ее параметров без введения в нее каких-либо э. д. с, нами прежде всего был поставлен следующий опыт. Как мы видели выше, такое возбуждение можно ожидать лишь при выполнении условия: 

где означает относительную величину изменения параметра (так называемую глубину модуляции его), а  есть средний логарифмический декремент системы. Поэтому необходимо было осуществить, с одной стороны, достаточно эффективный способ изменения параметра и, с другой стороны, cистему с возможно меньшим . Так как, далее, максимальная мощность параметрически возбужденных колебаний равняется

то для получения сколько-нибудь заметной мощности при легко осуществимых частотах изменения параметра необходимо иметь в цепи емкость С значительной величины, способную выдержать большие напряжения. Ввиду сравнительной сложности осуществления в лабораторных условиях переменной емкости требуемой величины, допускающей достаточную глубину модуляции при необходимых больших частотах, мы отказались для начала от изменения емкости и выбрали в качестве периодически изменяемого параметра самоиндукцию. Из различных возможностей осуществления периодического изменения самоиндукции мы, по ряду соображений, остановились сначала на следующей. Если ввести в переменное поле катушки (самоиндукции L какое-нибудь проводящее тело (в простейшем случае - короткозамкнутый виток), то, как известно, вследствие наведенных в теле токов Фуко, магнитная энергия поля, а следовательно и эффективная L — уменьшился. Исходя из этого, мы применили в качестве устройства, позволяющего удобно и с требуемой частотой периодически изменять эффективную величину самоиндукции следующее (рис. 6, 7 и 8). Здесь переменная самоиндукция состоит из двух групп плоских катушек (по 7 в каждой) (рис. 6), смонтированных на двух параллельных дисках по периферии двух параллельных окружностей так, что между обращенными друг к другу сторонами катушек было узкое пространство в виде щели. В этой щели помещался металлический вращающийся диск, имеющий на периферии вырезы в виде зубцов (7 по числу катушек) (рис. 7), расположенных таким образом, что при вращении середины зубдов в определенные моменты совпадают с центрами катушек. Таким образом периодическое изменение самоиндукции здесь достигается тем, что при вращении диска зубцы попеременно то входят в поле катушек, то выходят из него. В первом случае эффективная самоиндукция очевидно будет минимальной а во втором —максимальной. Так как такой диск (например, из дюралюминия) допускает очень большие скорости вращения (в наших опытах периферийная скорость достигала до 220 м/сек.), то, следовательно, при указанном способе изменения самоиндукции можно было осуществить большие частоты (1700—2000 в сек.) изменения параметра и получить колебания достаточной мощности. Заметим, что для увеличения самоиндукции, а также для большей концентрации поля в пространстве между катушками они была снабжены сердечниками из подразделенного железа.

В первых наших опытах возбуждения колебания в системе с периодически изменяемой таким образом самоиндукцией в начале 1931 г. мы воспользовались принципом регенерации с помощью электронной лампы для выполнения условия возбуждения, так как первая изготовленная система катушек обладала слишком большим сопротивлением, и логарифмический декремент системы  был значительно более 0,12, тогда как измеренная (из определения собственной частоты системы при двух экстремальных положениях диска (зубцы в поле, катушек и зубцы вне поля) глубина модуляции самоиндукции была только 0,07, т. е.  было меньше  Для того чтобы в начальном состоянии в колебательном контуре отсутствовали какие-либо явные токи и напряжения была выбрана схема регенерации с параллельным питанием , изображенная на рис. 9. 

Здесь обратная связь осуществляется через емкость С_c, изменяя которую, можно плавно регулировать величину связи. Приводим данные схемы. Колебательный контур состоял из описанной выше механически изменяемой самоиндукции L₁ и дополнительной самоиндукции L₂=0,1 генри и вариометра типа Гартман и Браун, допускающего вариацию от 11,3 до 16,5^-2 H. служившего для грубой подстройки. Емкость контура состояла из постоянной части С₁ в 70 000 oм и параллельно к ней приключенного конденсатора пере­менной емкости С₂ (макс, емкость 11200 om) для тонкой настройки. Общее омическое сопротивление контура, не считая потерь, вносимых диском, было порядка 90 ом. Расстояние между катушками (ширина щели) равнялась 5 мм, а толщина дюралюминиевого диска — 3 мм. Электронная лампа была типа Микро. 
Анодное напряжение 240 V. Диск был насажен на ось, которая приводилась во вращение мотором с редуктором (1: 10) типа машин высокой частоты В. П. Вологдина. При числе оборотов мотора 1400—1500 об/мин (число оборотов диска 
в 10 раз больше) мы получали с диском с 7 зубцами изменения самоиндукции  от 1630 до 1750 в сек.¹ Опыт производился следующим образом. Сначала при неподвижном диске (или при вращении с не соответствующей условиям возбуждения скоростью) режим лампы подбирался таким образом, чтобы при достаточной обратной связи (регулируемой при помощи C_a) и подстройке системы на половинную частоту изменения параметра получалось, по возможности, мягкое самовоэбуждение автоколебаний, и затем связь уменьшалась насколько, чтобы во всей области настройки автоколебания не возникали. После этого диcк приводился в движение. При достижении им полного числа оборотов в системе возникали колебания, частота которых была ровно в два раза меньше частоты изменения самоиндукции.

При плавном изменении емкости контура (т. е. собственной частоты системы) частота колебаний оставалась неизменной до определенной расстройки, после которой колебания прекращались. Что здесь действительно имело место гетеропараметрическое возбуждение колебаний, а не возбуждение колебаний половинной частоты в регенеративной системе под действием переменных иипульсов токов, наведенных каким-либо полем (например магнитным полем земли) в зубцах при вращении диска и создающих э. д. с. частоты изменения параметра (случай резонанса 2-го рода) явствует из следующего. Если, например, максимальный ток в контуре при самовозбуждении равнялся всего 9 mA при постоянной компоненте анодного тока i_a, равной 1,4 mА, то при гетеропараметрическом возбуждонии он достигал 40mA, при i_a = 1,8mА. Отсюда ясно, что МОЩНОСТЬ ПОСТАВЛЯЛАСЬ В КОНТУР НЕ БАТАРЕЕЙ , ПИТАЮЩЕЙ ЛАМПУ , КАК В СЛУЧАЕ АВТОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ , А ДИСКОМ , ЗА СЧЕТ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРА. 

На. рис. 10 приведена кривая зависимости амплитуды колебаний, возникающих при изменении параметра, от расстройки колебательной системы. Так как при этом С_a = 44°, а автоколебания наступали лишь в интервале от С_a = 77° до С_a= 93°, то во всей области параметрического возбуждения самовозбуждения не было: при остановке мотора или изменении скорости вращения диска за пределы, при которых имело место параметрическое возбуждение, колебания в контуре прекращались. На всем протяжении кривой параметрического резонанса частота колебание оставалась постоянной и точно равной половине частоты () изменения параметра (7 умноженное на число оборотов диска в cек.). Измерения производились на слух с помощью частотомера Сименс и Гальске. Кроме диска из дюралюминия нами были произведены опыты и с диском из железа той же формы, но толщиной в 2 мм. Несмотря на то, что с целью усиления концентрации поля катушки статора были сближены на расстояние до 4 мм, эффект параметрачеокого возбуждения не наблюдался. Контрольное измерение глубины модуляции самоиндукции показало, что, как и можно было ожидать, железный диск, действуя как железо в сторону увеличения L, с одной стороны, и как металл в сторону уменьшения, с другой, вызывает значительно меньшее изменение самоиндукции, внося одновременно большие потери в систему. 

После того как был установлен эффект гетеронараметрического возбуждения в регенеративной системе, мы приступили к опытам с системой без регенерации. Для этой цели были изменены катушки статора, удлинен сердечник из трансформаторного железа (диам.—2,2 см, длина - 6,5 см ) и увеличен диаметр проволоки (0,9 мм) обмотки катушек. Благодаря этим мерам удалось, с одной стороны, увеличить концентрацию поля катушек и тем самым увеличить глубину модуляции самоиндукции (до 14,5%), с другой стороны, весьма значительно уменьшить омические потери в контуре (сопротивление катушек статора уменьшилось с 84.5 ом до 21 ома. Так как при этом 0,14, то таким образом условие (*) оказывалось удовлетворенным и можно было ожидать, что удастся получить параметрическое возбуждение колебаний в этой системе и без регенерации- И самом деле, при подстройке колебательной системы (собранной по схеме рис. 11, в которой отсутствуют какие-либо явные источники тока или напряжения) с помощью конденсатора С₂ на частоту, равную или близкую к половинной частоте изменения самоиндукции системы, в ней возникали мощные колебания с частотой, точно равной половице частоты изменения самоиндукции. Амплитуда колебаний при этом быстро 1 возрастала до тех пор, пока не наступал пробой изоляции либо конденсаторов контура, либо подводящих проводов. В наших опытах напряжение достигало 12—15 тыc V. Для того чтобы получить стационарный режим необходимо было — в согласии с теорией — ввести в систему проводник с нелинейной характеристикой. В качестве такого проводника при первых опытах была взята группа лампочек накаливания (100-ваттных), которые можно было включать параллельно в колебательный контур (рис. 11). Сообщаем данные схемы. Ёмкость контура состояла из 17—20 последовательно соединенных конденсаторов в  каждый, параллельно которым был приключен масляный конденсатор переменной емкости C₂ (11 000 om), соединенный последовательно с постоянной емкостью в 3000 om. Максимальная и минимальная величины самоиндукции катушек статора были 

Упомянутый выше ламповый реостат служил в качестве нагрузки, а для более плавной регулировки вводимого в систему сопротивления был взят реостат R. Грубая настройка производилась изменением числа последовательно включенных конденсаторов, а более тонкая —при помощи масляного конденсатора. Следует заметить, что ввиду большого непостоянства напряжения сети, or которой питался мотор, число оборотов диска значительно менялось, и требовалась частая перестройка, так как переменный конденсатор позволял изменять частоту контура лишь в небольших пределах. Это обстоятельство сильно осложняло эксперименты и не дало возможности произвести все измерения в этой схеме.
Из проделанных опытов упомянем следующие. Прежде всего следует указать на то, что введение лампочек накаливания действительно позволяет получить и регулировать в широких пределах (до 5 А, так как мощность мотора и сечение провода катушек не допускали большей нагрузки) стационарную амплитуду колебаний. Однако тепловая инерция нитей накаливания обусловливает иногда своеобразное явление „раскачивания" амплитуды которое заключается в том, что амплитуда возрастает не постепенно, а волнообразно: лампы горят то сильнее, то слабее. Это явление, связанное часто с сильными перенапряжениями, иногда продолжается несколько минут. Соответствующим выбором режима системы можно от него в значительной мере избавиться. Заметим также, что в последующих опытах, произведенных в настоящем году, которые подробно описаны в помещаемой ниже статье В. А. Лазарева, нами был применен более удобный и технически более совершенный способ регулировки величины стационарной амплитуды, основанный на использовании нелинейного соотношения между магнитным потоком и током в особом дросселе, вводимом в цепь колебательного контура. 
Приводим некоторые результаты измерений, проделанных с лампами накаливания в качестве нагрузки. Зависимость напряжения на конденсаторе от величины вводимого в систему сопротивления представлена на рис. 12. Как видно из него, напряжение плавно уменьшается с увеличением нагрузки. При введенном сопротивлении в 28 ом колебания обрываются. Если исходить из этого значения, как предельного, и учеcть все другие потери в системе, а именно: сопротивление обмотки катушек, потери в дюралюминиевом диске, в железе, диэлектрические потери в конденсаторах, то общий логарифмический декремент собственных колебаний системы получается около 0,20. Так как измеренная в данных условиях глубина моду­ляции самоиндукции оказалась равной 0,14, то соотношение , являющееся условием возбуждения, при этом еще как paз выполняется. 
Дальнейшие более детальные опыты производились с другой опытной установкой, в которой для увеличения глубины модуляции (до 40%), а также мощности (до 4kV) была изменена система катушек статора. Катушки эти были намотаны из более толстой проволоки на почти замкнутых сердечниках из подразделенного железа. Проведенные с этой установкой опыты, подтвердившие как с качественной, так и с количественной стороны выводы теории, подробно описаны в помещенной ниже статье В. А. Лазарева. Отметим только, что кроме диска из дюралюминия в этой установке применялся также и диск из меди, давший приблизительно те же результаты. Об опытах с возбуждением электрических колебаний при помощи периодичеокого изменения емкости колебательной системы, также находящихся в согласии с теорией, вами уже было сообщено в этом журнале. В заключение считаем необходимым выразить нашу искреннюю благодарность И. М. Ворушко н В. А. Лазареву, принимавших существенное участие в проведении описанных опытов. 
Ленинград - Москва Поступило в редакцию ЛЭФИ НИИФ 1 МГУ 22 августа 1938 г